\documentclass[UTF8]{article}
\usepackage[UTF8]{ctex}%中文宏包
\usepackage{amsmath,bm,amsfonts,amssymb}%数学宏包，amsfonts,amssymb是插入空心字母的包，使用命令\mathbb{}
\numberwithin{equation}{section}%公式按节进行编号
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage[a4paper,left=2.14cm,right=2.14cm,bottom=2cm,top=2cm]{geometry}%页面设置宏包
\pagestyle{headings}

%opening
\title{非线性时间序列建模}
\author{陈普}
\date{\today}
\usepackage{graphicx,picinpar,multicol,bm,float}
\begin{document}
	\maketitle
\section{非线性时间序列建模}

\subsection{线性与非线性调整}

很多时候经济是非线性的，譬如失业的增加速度要比就业的增加速度快。利差调整速度的不一样等。若令$ s_t=r_{Lt}-r_{St} $，其中$ s_t $是利差，$ r_{Lt} $是长期利率，$ r_{St} $是短期利率。那么存在如下AR(1)模型，
\[ s_t=a_0+a_1s_{t-1}+\varepsilon_t \]

上式表明$ s_t $的均值为$ \bar s=a_0/(1-a_1) $，上式也可以写成，
\[ s_t=\bar s+a_1(s_{t-1}-\bar s)+\varepsilon_t \]

	\begin{itemize}
		\item 若系统处于长期均衡水平，则利差只有随机扰动。
		\item 若系统偏离长期均衡，则离差会带入下一期。
	\end{itemize}

实际上，存在利差非线性调整的证据，利差在低于长期均衡值时往往更为持久。也即，服从如下规律，
\begin{align*}
s_t=\begin{cases}
\bar s+a_1(s_{t-1}-\bar s)+\varepsilon_{1t}\quad s_{t-1}>\bar s\\
\bar s+a_2(s_{t-1}-\bar s)+\varepsilon_{2t}\quad s_{t-1}\le \bar s
\end{cases}
\end{align*}
\subsection{门限自回归模型}
对于一个一般的门限自回归模型，可以写为，
\begin{align}\label{eq1}
y_t=\begin{cases}
 \alpha_{10}+\alpha_{11}y_{t-1}+\cdots+\alpha_{1p}+\varepsilon_{1t}\quad y_{t-1}>\tau\\
 \alpha_{20}+\alpha_{21}y_{t-1}+\cdots+\alpha_{2r}+\varepsilon_{2t}\quad y_{t-1}>\tau
\end{cases}
\end{align}

如何估计该模型呢？如果门限$ \tau $已知，那么将数据分组以后即可每组单独使用OLS进行估计。

\subsection{门限未知时的估计}
Chan(1993)提出了一致估计量的方法。可以理解，门限一定在序列的最大值和最小值之间。

在应用中，为使得门限两边有适当数量的观测值，一般从检索中排除最高和最低各15\%的值。然后格点搜索每一个可能的门限。

Rothman(1998)使用该法给出了失业率的一个TAR模型估计，
\begin{align*}
u_t=&0.0529+1.349u_{t-1}-0.665u_{t-2}+\varepsilon_{1t}\quad u_{t-1}\ge 0.062\\
u_t=&1.646u_{t-1}-0.733u_{t-2}+\varepsilon_{2t}\quad u_{t-1}<0.062
\end{align*}

\begin{itemize}
	\item 门限为0.062；
	\item 高失业状态更为持久；
\end{itemize}
\subsection{TAR的扩展形式}
\subsubsection{选择延迟参数}
前面的模型表明，状态由$ y_{t-1} $决定。这个不一定，也许是$ y_{t-2} $或者更一般的地是$ y_{t-d} $。$ d $就是延迟参数。

可以根据每个$ d $估计TAR模型，选一个最小残差平方和的模型。

实际上，也不一定必须是$ y_{t-d} $，也可以是$ x_{t-d} $。
\subsubsection{多种状态}
状态不止两个，可能会有多个。譬如Balke and Fomby(1997)使用Band-TAR模型估计了利差的调整，

\begin{align*}
s_t=\begin{cases}
\bar s+a_1(s_{t-1}-\bar s)+\varepsilon_{1t}\quad s_{t-1}>\bar s+c\\
s_{t-1}+\varepsilon_{2t}\quad \bar s-c<s_{t-1}\le \bar s+c\\
\bar s+a_2(s_{t-1}-\bar s)+\varepsilon_{3t}\quad s_{t-1}\le \bar s-c
\end{cases}
\end{align*}

Band-TAR模型的好处在于虽然有三个体制，也只需要估计一个门限参数$ c $。
\subsection{门限模型估计步骤}
\begin{enumerate}
	\item 对门限变量$ y_{t-d} $从低到高进行排序，令$ y^i $是排序后的第$ i $个值；
	\item 依次将$ \{y^i\} $作为门限，估计\eqref{eq1}式，并保存对应的SSR;
	\item 绘制SSR的连续图；
\end{enumerate}

若存在门限，则该图应存在一个凹点。若有两个门限，则可能存在两个凹点。

\subsection{门限的预检验}
若门限已知，那么普通的F检验就可以搞定。但门限未知，就需要其他的方法。

\begin{enumerate}
	\item 找遍所有的门限$ \tau $，得到一个最优拟合的TAR模型，该模型的SSR记为$SSR_r$；
	\item 令$ SSR_u $表示无约束模型的残差平方和，然后构造传统F统计量，
	\[ F=\frac{(SSR_r-SSR_u)/q}{SSR_u/(T-2q)} \]
其中$ q $是线性模型中参数的个数，$ T $是观测的个数。
\item 通过蒙特卡洛模拟构造经验F分布。从标准正态分布中抽样$ T $个随机数，记为$ e_t $，做对应的类似如下两个回归，
\begin{align*}
e_t=\alpha y_{t-1}+\varepsilon_{2t}\\
e_t=\alpha I_ty_{t-1}+\beta (1-I_t)y_{t-1}+\varepsilon_{1t}
\end{align*}

第一个回归的SSR记为$ SSR_r^* $，第二个回归的SSR记为$ SSR_u^* $，于是就可以计算一个统计量$ F^* $。重复该过程几千次，就有一个经验分布。






\end{enumerate}


\end{document}